東京〜大阪及び東京〜名古屋がそれぞれ独立した通信回線で接続されている。
東京〜大阪の稼働率は0.9、東京〜名古屋の稼働率は0.8である。東京〜大阪の稼働率を0.95以上に改善するために、大阪〜名古屋にバックアップ回線を新設することを計画している。新設される回線の稼働率は最低限幾ら必要か。
- ア 0.167
- イ 0.205
- ウ 0.559
- エ 0.625
正解： ウ
解説：
東京〜大阪のルートは2経路の並列系統になる。
- 経路1：東京〜大阪（稼働率 0.9）
- 経路2：東京〜名古屋（0.8）＋名古屋〜大阪（稼働率 x）
求める稼働率を x とすると、
並列稼働率 = 1 − (直列故障率の積) で求められるので、以下の式を解いて求める。
$$ \begin{aligned}1 − (1−0.9) \times (1 − 0.8 \times x) &\geqq 0.95 \\\ 1-0.1(1 − 0.8x) &\geqq 0.95 \; \footnotesize*カッコ内を解く \\\ -0.1(1 − 0.8x) &\geqq 0.05 \; \footnotesize*両辺から1を引く \\\ 0.1(1 − 0.8x) &\leqq 0.05 \; \footnotesize*両辺に-1を掛ける。この時不等号は逆転 \\\ 1 − 0.8x &\leqq 0.5 \; \footnotesize*両辺に10を掛ける。\\\ − 0.8x &\leqq -0.5 \; \footnotesize*両辺から1を引く\\\ 0.8x &\geqq 0.5 \; \footnotesize*両辺に-1を掛ける。この時不等号は逆転\\\ x &\geqq 0.5\times0.8\\\ x &\geqq 0.625\end{aligned} $$